Alice e le olimpiadi di Matematica

Alice, Bruno e Claudia si sono classificati pari merito nelle Olimpiadi di Matematica e si apprestano alla Gara Finale di Spareggio. I giudici di gara decidono di proporre un quiz.

Vengono quindi posti tutti e tre intorno ad un tavolo e, mentre sono bendati, ad ognuno viene posto in testa un cappello, che può essere o bianco o nero. Quando verrà dato il “via”, le bende cadranno, e ogni ragazzo potrà vedere i cappelli degli altri due. Le regole del gioco prevedono che ogni ragazzo batta un colpo sul tavolo se vede almeno un cappello bianco, e ne batta due non appena capisce di quale colore è il suo proprio cappello.

Non appena viene dato il via e cadono le bende, Alice batte subito per tre volte di seguito la mano sul tavolo e, senza aspettare la reazione degli altri due, annuncia “Il mio cappello è bianco”, e si aggiudica la gara. Come ha fatto?

Pausa di riflessione:

Un professore di Chimica pone un indovinello ad un ragazzo che vuole uscire con sua figlia; siccome vuole un genero intelligente, gli propone un quesito davvero difficile. Il ragazzo riesce a risolvere il gioco e il professore dandogli il permesso di uscire con la figlia gli chiede: come hai fatto ad indovinare? Il ragazzo disse: “una cosa sopra tutto mi ha aiutato; la certezza che la soluzione esiste, proprio perché è un gioco.”
…da un racconto di Asimov

E’ un’importante consapevolezza quella della certezza dell’esistenza della soluzione. In ogni problema è da tenere a mente a priori, anche se non sempre esiste una soluzione certa.

1° Aiuto:
Se al posto dei giudici di gara ci fossero stati dei cannibali ed al posto dei cappelli fosse stato messo un osso bianco o nero sopra le loro teste, Alice non sarebbe potuta arrivare alla soluzione.

2° Aiuto:
Alice sapeva la soluzione prima che il gioco cominciasse, praticamente quando il gioco veniva spiegato dai giudici di gara.

3° Aiuto:
Alice è stata velocissima; doveva dare la risposta esatta per prima perché tutti e tre i concorrenti avrebbero avuto la soluzione immediatamente.

Soluzione:
Alice, partendo dalla consapevolezza che:
2 cappelli neri ed uno bianco obbligherebbe i giocatori ad attendere la risposta degli altri in quanto l’ultimo viene privilegiato
2 cappelli bianchi ed uno nero non darebbe la soluzione certa a nessuno
3 cappelli neri tutti stanno zitti all’infinito
I giudici di gara, imparziali nel cercare un vincitore, devono cercare un quiz ideale che non privilegi nessuno dei 3 classificati ma garantisca un vincitore.
L’unica combinazione esatta è, appunto, 3 cappelli di colore bianco.

Un’analisi più approfondita:
Questa soluzione e pseudo matematica. Ora, immaginate che si stia davvero celebrando la finale delle Olimpiadi di Matematica fra i tre ragazzi, immaginate di essere gli organizzatori del gioco… quali sono le regole che vi auto imponete per far funzionare questa finale? Dovete essere certi che nessun ragazzo bari e che vinca il migliore ma, sopratutto dovete creare un problema che sia assolutamente equo e risolvibile. I tre ragazzi devono essere perfettamente alla pari nella sfida finale per evitare contestazioni o accuse di parzialità.

Se riguardate le combinazioni possibili, si può notare che il concorrente che vede gli altri due indossare due cappelli bianchi, potrà intrapprendere un certo tipo di ragionamento, giusto o sbagliato che sia. Mentre, al contrario, vedere un cappello bianco ed uno nero porterà ad un ragionamento diverso. A questo livello di astrazione non è importante capire dove vadano a parare le varie logiche elaborative e neanche se portano ad una soluzione opure no, neppure se siano davvero di pari difficoltà o meno. Quel che è importante considerare è che i concorrenti devono essere messi in condizioni identiche di soluzione.

Questo implica che il comitato organizzatore debba fare in modo che le condizioni iniziali siano esattamente le stesse per tutti e tre i partecipanti: l’unica maniera possibile per avere le medesime condizioni iniziali è che tutti e tre i ragazzi abbiano il cappello di colore bianco.

Andiamo Oltre:

Come mai Alice ha battuto 3 volte?
Il primo colpo per la consapevolezza che avrebbe visto 2 cappelli bianchi e gli altri 2 per comunicare la soluzione.

Come mai gli altri non hanno battuto avendo di fronte dei cappelli bianchi?
Perché Alice, intuendo già la strategia prima che il gioco iniziasse, non gli ha dato il tempo.

Esiste una soluzione puramente matematica che non tenga conto del comportamento imparziale dei giudici?
Ci ho pensato bene: secondo me no.

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